半个月北京市查处大气违法123起 处罚金额259万元

Логаритми различитих основа: црвени ?е за основу e, зелени за основу 10, а ?убичасти за основу 1.7. Логаритми свих основа пролазе кроз тачку (1,0).

百度 近年来，安徽省气象部门通过利用现代信息技术，积极推进互联网+服务，江淮气象微博、安徽气象服务微信公众号、惠农气象手机客户端等的应用，智慧气象有了初步的实现，扩大了气象服务的覆盖面、提高了气象服务的满意度，综合防灾减灾的气象服务能力有了进一步提升。

У математици логаритам ?е функци?а ко?а одре?у?е експонент у ?едначини bⁿ = x. Логаритам ?е инверзна функци?а у односу на експоненци?алну. Обично се пише као log_b x = n. Пример:

$$\!\,3^{4}=81\Leftrightarrow \log _{3}81=4$$

Логаритам ?е ?една од три врло сродне функци?е. Уколико имамо bⁿ = x, b може да се одреди коренова?ем, n логаритмова?ем, а x експоненци?алном функци?ом.

Негативни логаритам се пише као n = ?log_b x; пример ?егове употребе ?е у хеми?и где представ?а концентраци?у водоника (pH вредност).

Антилогаритам се користи да означи функци?у инверзну логаритму (експоненци?ална функци?а, односно степенова?е). Пише се као antilog_b(n) и значи исто што и bⁿ.

Двоструки логаритам ?е инверзна функци?а двоструке експоненци?алне функци?е. Супер логаритам или хипер логаритам ?е инверзна функци?а супер експоненци?алне функци?е. Супер логаритам за x расте спори?е и од двоструког логаритма за велико x.

Дискретни логаритам се поми?е у теори?и коначних група. Веру?е се да ?е за неке коначне групе дискретни логаритам веома тешко израчунати, док ?е дискретне експоненци?але веома лако израчунати. Ова асиметри?а има примене у криптографи?и.

Логаритам за базу 10 (где ?е b = 10) зове се општи алгоритам и има неколико примена у науци и инже?ерству. Природни логаритам има бро? e (≈ 2.718) као базу; ?егова примена ?е раширена у математици и физици, због свог ?едноставни?ег извода. Бинарни логаритам користи базу 2 (где ?е b = 2) и често се користи у рачунарству.

Логаритме ?е увео ?он Непер почетком 17. века ради по?едностав?е?а прорачуна. Они се увелико користе од стране навигатора, научника, инже?ера и осталих како би се рачунарски прорачуни извршавали много лакше, користе?и логаритмар и логаритамске таблице. Заморно вишецифрено множе?е могу заменити таблице с ?едноставним сабира?ем због чи?енице — веома важне — да ?е логаритамски производ заправо збир логаритама фактора:

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y),\,$

где су b, x и y сви позитивни и b ≠ 1. Данаш?и по?ам логаритма долази од Леонарда О?лера, ко?и ?е направио везу изме?у логаритама и експоненци?алне функци?е у 18. веку.

Логаритамска скала сма?у?е широк спектар величина на ма?е простора. На прим?ер, децибел ?е мерна ?единица ?ачине сигнала снаге лог-односа и амплитуде лог-односа (од ко?их ?е звучни притисак чест пример). У хеми?и, pH ?е логаритамска мера за киселост воденог раствора. Логаритми су уобича?ени у научним формулама, те у мерама комплексности алгоритама и геометри?ских об?еката званих фрактали. Они опису?у музичке интервале, по?ав?у?у се у формулама бро?е?и просте бро?еве, информишу неке моделе у психофизици, те могу помо?и у форензичком рачуноводству.

На исти начин како логаритам служи експоненци?и, комплексни логаритам ?е инверзна функци?а експоненци?алне функци?е приме?ене на комплексне бро?еве. Дискретни логаритам ?е наредна вари?анта; користи се у асиметрично? криптографи?и.

Мотиваци?а и дефиници?а

Иде?а логаритама ?е да обрну операци?у експоненци?аци?е, то ?есте, степенова?е бро?а одре?еним степеном. На пример, тре?и степен (или коцка) од 2 ?есте 8, ?ер ?е 8 производ три фактора 2:

$2^{3}=2\times 2\times 2=8.\,$

То значи да?е логаритам од 8 са базом 2 управо 3, тако да ?е log₂ 8 = 3.

Експоненци?а

Тре?и степен неког бро?а b ?есте производ три фактора од b. Уопштени?е, степенова?ем b на n-ти степен, где ?е n природни бро?, ради се множе?ем n фактора од b. n-ти степен од b се пише као bⁿ, тако да ?е

$b^{n}=\underbrace {b\times b\times \cdots \times b} _{n{\text{ factors}}}.$

Експоненци?а се може проширити на b^y, где ?е b позитивни бро? и експонент y ?е било ко?и реални бро?. На пример, b^?1 ?е реципрочан од b, то ?есте, 1/b.

Дефиници?а

Логаритам позитивног реалног бро?а x са базом b, позитивни реалан бро? не?еднак са 1, ?есте експонент ко?им b мора бити степенован да се доби?е x. Другим речима, логаритам од x за базу b ?е реше?е y за ?едначину

$b^{y}=x.\,$

Логаритам ?е описан ?log_b(x)“ (чита се ?логаритам од x за базу b“. У ?едначини y = log_b(x), вредност y ?е одговор на пита?е ?На ко?и степен мора бити b дигнут, да би се добио x?“. Ово пита?е може тако?е бити упу?ено (са богати?им одговором) за комплексне бро?еве, што ?е показано у секци?и ?Комплексни логаритам“.

Примери

На пример, log₂(16) = 4, пошто ?е 2⁴ = 2?×2?×?2?×?2 = 16. Логаритми тако?е могу бити негативни:

$\log _{2}\!\left({\frac {1}{2}}\right)=-1,\,$

po?to je

$2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.$

Тре?и пример: log₁₀(150) ?е приближно 2.176, што лежи изме?у 2 и 3, као што 150 лежи изме?у 10² = 100 i 10³ = 1000. Коначно, за било ко?у базу b, log_b(b) = 1 и 1=log_b(1) = 0, пошто важи b¹ = b и b⁰ = 1, редом.

Логаритамска и експоненци?ална функци?а: инверзне функци?е

За сваку основу (b у bⁿ), посто?и ?една логаритамска и ?една експоненци?ална функци?а; оне су инверзне функци?е. За bⁿ = x:

• Експоненци?ална функци?а одре?у?е x за дато n. Да би се нашло x, треба b помножити самим собом n пута.
• Логаритамска функци?а одре?у?е n за дато x. n ?е она? бро? пута колико треба поделити x са b да би се достигло 1.

Употреба логаритамске функци?е

Функци?а log_b(x) ?е дефинисана када ?е x позитивни реални бро? и b позитивни реални бро? различит од 1. Погледати логаритамске ?едначине за неколико правила у вези логаритамске функци?е. Логаритамска функци?а може бити дефинисана и за комплексне аргументе. Ово ?е об?аш?ено на страни природног логаритма.

За целе бро?еве b i x, бро? log_b(x) ?е ирационалан (т?. не може се изразити као разломак два цела бро?а) ако b или x има прост фактор ко?и други нема (т?. ако им ?е на?ве?и за?еднички делилац 1, а и b и x су ве?и од 1). У неким случа?евима, ову чи?еницу ?е веома лако доказати. На пример: ако ?е log₂3 рационалан бро?, тада бисмо имали log₂3 = n/m за нека два позитивна цела бро?а n и m, из чега би важило 2ⁿ = 3^m. Ме?утим, послед?а ?едначина ?е немогу?а ?ер ?е 2ⁿ паран бро?, а 3^m непаран бро?.

Неспецифицирана основа

• Математичари генерално разуме?у или "ln(x)" или "log(x)" да значи log_e(x), т?. природни логаритам, а пишу "log₁₀(x)" само ако ?е у пита?у декадни логаритам.
• Инже?ери, биолози и ?ош неки пишу само "ln(x)" или (ре?е) "log_e(x)" када се мисли на природни логаритам бро?а x, а користе "log(x)" да означе log₁₀(x) или, у рачунарству, бинарни логаритам log₂(x).
• Понекад се Log(x) (са великим словом L) користи да означи log₁₀(x) од стране ?уди ко?и користе log(x) (са малим словом l) да означе log_e(x).
• У ве?ини програмских ?езика ук?учу?у?и и C програмски ?език, C++, Pascal, Fortran и BASIC програмски ?език, "log" или "LOG" означава природни логаритам.

Промена основе

Иако посто?и неколико корисних ?едначина, на?важни?а за употребу калкулатора ?е на?и логаритам са основом различитом у односу на ону угра?ену у сам калкулатор (обично су угра?ене log_e и log₁₀). Да бисмо нашли логаритам са основом b користе?и неку другу основу k:

$\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}$

Доказ ?едначине за промену основе

$b^{\log _{b}(x)}=x\!\,$	по дефиници?и
$\log _{k}\left(b^{\log _{b}(x)}\right)=\log _{k}(x)$	логаритму?емо обе стране
$\log _{b}(x)\,\log _{k}(b)=\log _{k}(x)$	упростимо леву страну ?еднакости
$\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}\,\!$	поделимо са logk(b)

Све ово указу?е да су све логаритамске функци?е (без обзира на основу) сличне ?една друго?.

Употребе логаритамске функци?е

Логаритми су корисни у решава?у ?едначина где ?е непознат експонент. Логаритми има?у прост извод, тако да се често користе као реше?а интеграла. Да?е, велики бро? ?единица у науци се изражава преко логаритама других ?единица; погледати логаритамску скалу за об?аш?е?е и листу ?единица.

Лакше рачунице

Логаритми пребацу?у фокус са обичних бро?ева на експоненте. Докле год се иста основа користи, овиме су неке операци?е олакшане:

Операци?е са бро?евима	Операци?е са експонентима	Логаритамски идентитет
$\!\,ab$	$\!\,A+B$	$\!\,\log(ab)=\log(a)+\log(b)$
$\!\,a/b$	$\!\,A-B$	$\!\,\log(a/b)=\log(a)-\log(b)$
$\!\,a^{b}$	$\!\,Ab$	$\!\,\log(a^{b})=b\log(a)$
$\!\,{\sqrt[{b}]{a}}$	$\!\,A/b$	$\!\,\log({\sqrt[{b}]{a}})=\log(a)/b$

Пре употребе електронских калкулатора, ово ?е чинило тешке операци?е са два бро?а лакшим. ?едноставно би нашли логаритам оба бро?а (за множе?е и де?е?е) или само првог бро?а (за коренова?е или где ?е ?едан бро? ве? експонент) у логаритамско? таблици и извршили прости?у операци?у над ?има.

Математичка анализа

За израчунава?е извода логаритамске функци?е, користи се следе?а формула

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}={\frac {\log _{b}(e)}{x}}$

где ?е ln природни логаритам, т?. са основом e. Пушта?у?и да b = e:

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln(x)+C$

Може се видети да следе?а формула да?е интеграл логаритамске функци?е

$\int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x\log _{b}\left({\frac {x}{e}}\right)+C$

Одре?ене базе

Ме?у свим изборима за базу, три су посебно честа. То су b = 10, b = e (ирационална математичка константа ≈ 2,71828), и b = 2. У математичко? анализи, логаритам за базу e ?е раширен због сво?их одре?ених аналитичких сво?става об?аш?ених испод. У другу руку, алгоритми с базом 10 су ?едноставни за кориш?е?е за ручне прорачуне у децималном бро?ном систему:

$\log _{10}(10x)=\log _{10}(10)+\log _{10}(x)=1+\log _{10}(x).\$

Тако, log₁₀(x) ?е везан за бро? децималних бро?ева позитивног целог бро?а x: бро? бро?ки ?е на?ма?и цели бро? стриктно ве?и од log₁₀(x). На пример, log₁₀(1430) ?е приближно 3,15. Следе?и цели бро? ?е 4, што ?е бро? цифара од 1430. И природни логаритам и логаритам за базу 2 се користе у информационо? теори?и, што одговара употреби нату или битовима као основним ?единицама информаци?е. Бинарни логаритми су тако?е кориштени у рачунарству, где ?е бинарни бро?ни систем свеприсутан, у музичко? теори?и, где ?е однос висине тона два (октава) свеприсутан и цент ?е бинарни логаритам (ума?ен за 1200) од односа изме?у два суседна ?еднако смирена тона, те у фотографи?и за мере?е вредности излага?а.

Следе?а табела показу?е честе нотаци?е за логаритме за ове базе и по?а где се користе. Доста дисциплина пише log(x) уместо log_b(x), када се изабрана база може одредити из контекста. Нотаци?а ^blog(x) тако?е се по?ав?у?е. Колона "ISO нотаци?а" показу?е препоруке од ISO организаци?е, (ISO 31-11).

База b	Име за logb(x)	ISO нотаци?а	Друге нотаци?е	Користи се у
2	бинарни логаритам	lb(x)| ld(x), log(x), lg(x), log2(x)| рачунарство, информациона теори?а, музичка теори?а, фотографи?а
e	природни логаритам	ln(x)	log(x) (у математици и више програмских ?езика)| математика, физика, хеми?а, статистика, економи?а, информациона теори?а, и нека по?а инже?ерства|-	10	општи логаритам	lg(x)	log(x), log10(x) (у инже?ерству, биологи?и, астрономи?и)	различита инже?ерска по?а (погледати децибел и остало испод), логаритамске таблице, ручни дигитрон, спектроскопи?а

Истори?а

Главни чланак: Истори?а логаритама

Истори?а логаритама у Европи у 17. веку ?есте откри?е нове функци?е ко?а ?е проширила стварност анализе иза опсега алгебарске методе. Методу логаритама ?е об?авио ?он Непер 1614. године, у к?изи с насловом Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Опис чудесног правила логаритама). Пре Наперовог изума, посто?але су сличне технике сличног опсега, као што су простафереза или кориште?е таблица прогреси?е, ко?е ?е екстензивно развио ?ост Бирги око 1600. године.

Општи логаритам бро?а ?е индекс оног степена од десет ко?и ?е ?еднак том бро?у. Говоре?и о бро?у ко?и захтева много цифара ?есте груби нагов?ешта? општег логаритма, ко?и ?е споми?ао Архимед као ?ред бро?а“. Први реални логаритми биле су хеуристичке методе ко?е су претварале множе?е у сабира?е, чиме се олакшава брзо рачуна?е. Неке од тих метода користиле су таблице изведене из тригонометри?ских идентитета. Таква метода се назива простафереза.

Изум функци?е сада познате као природни логаритам почео ?е као покуша? да се обави квадратура правоугаоне хиперболе од Грегуар де Сен-Венсана, белги?ског ?езуита ко?и ?е боравио у Прагу. Архимед ?е написао квадратуру хиперболе у 3. веку п. н. е., али квадратура за хиперболу измицала ?е свим напорима док Сен-Венсана ни?е об?авио сво?е резултате 1647. године. Веза ко?у пружа логаритам изме?у геометри?ске прогреси?е у свом аргументу и аритметичке прогреси?е вредности, подстакла ?е А. А. де Сараса да направи везу изме?у Сен-Венсанове квадратуре и традици?е логаритама у простаферези, што ?е довело до по?ма ?хиперболни логаритам“, синоним за природни логаритам. Ускоро ?е нова функци?а прихва?ена од стране научника: Ха?генса, Патави?а, и ?е?мса Грегори?а. Нотаци?у Log y ?е увео Ла?бниц 1675. године, а следе?е године он ?у ?е повезао са интегралом $\int {\frac {dy}{y}}.$

Логаритамске таблице, логаритамска скала и истори?ске примене

Об?аш?е?е логаритма из 1797. године, Енциклопеди?а Британика

По?едностав?е?ем тешких прорачуна, логаритми су доприни?ели разво?у науке, нарочито астрономи?е. Били су знача?ни за напредак у анкетира?е, небеско? навигаци?и и другим доменима. П?ер Симон Лаплас називао ?е логаритме:

"...див?е?а вредно лукавство ко?е, редукова?ем на неколико дана рад од неколико месеци, умножава живот астронома, те га поште?у?е грешака и га?е?а ко?е узроку?е дуги прорачун."

К?учни алат ко?и ?е допустио практичну употребу логаритама пре дигитрона и рачунара биле су логаритамске таблице. Прву такву таблицу компа?лирао ?е Хенри Бригс 1617. године, одмах након Неперовог изума. Накнадно, направ?ене су таблице са пове?аним опсегом. Ове таблице су листале вредности од log_b(x) и b^x за сваки бро? x у одре?еном опсегу, са одре?еном прецизнош?у, за одре?ену базу b (често b = 10). На пример, Бригсова прва табела садржавала ?е опште логаритме свих целих бро?ева у низу 1–1000, са прецизнош?у од 14 цифара. Како ?е функци?а f(x) = b^x инверзна функци?а од log_b(x), била ?е названа антилогаритам. Производ и коефици?ент од два позитивна бро?а c и d били су рутински рачунати као сума и разлика ?ихових логаритама. Производ cd или коефици?ент c/d долазио ?е од узима?а антилогаритма збира или разлике, тако?е преко исте табеле:

$cd=b^{\log _{b}(c)}\,b^{\log _{b}(d)}=b^{\log _{b}(c)+\log _{b}(d)}\,$

и

${\frac {c}{d}}=cd^{-1}=b^{\log _{b}(c)-\log _{b}(d)}.\,$

Наставио ?е 1624. у делу Arithmetica Logarithmica са таблицом ко?а ?е садржала логаритме свих целих бро?ева од 1 до 20.000 и од 90.000 до 100.000 са тачнош?у од четрнаест децималних места, као и увод у коме су теори?а и употреба логаритама у потпуности разви?ени. Интервал од 20.000 до 90.000 ?е попунио Адри?ан Влаку, холандски рачунар, али у ?егово? таблици, ко?а се по?авила 1628, логаритми су дати на само десет децимала.

Калет ?е 1795. дао логаритме од 100.000 до 108.000 са тачнош?у до осме децимале. ?едина битна екстензи?а Влакуове таблице ?е дао Санг 1871. чи?а ?е таблица имала логаритме свих бро?ева до 200.000 на седам децимала.

Бригс и Влаку су тако?е об?авили оригиналне таблице логаритама тригонометри?ских функци?а.

Поред поменутих таблица, велика колекци?а под именом Tables du Cadastre ?е конструисана под во?ством Прони?а, са оригиналним рачуницама, под патронатом француске републичке власти око 1700. године. Ова? рад, ко?и ?е садржао логаритме свих бро?ева до 100.000 на деветнаест децимала и бро?ева од 100.000 до 200.000 на двадесет четири децимале посто?и само у рукопису у париско? опсерватори?и.

Данаш?им студентима ко?и има?у могу?ност кориш?е?а рачунара и електронских калкулатора, рад ко?и ?е уложен у ове таблице ?е само мали индикатор велике важности логаритама.

Алгоритам

Да би се израчунао log_b(x) уколико су b и x рационални бро?еви и x ≥ b > 1:

Нека ?е n₀ на?ве?и цео бро? такав да ?е b^n₀ ≤ x или,

$n_{0}=\lfloor \log _{b}(x)\rfloor$

онда

$\log _{b}(x)=n_{0}+{\frac {1}{\log _{x/b^{n_{0}}}(b)}}$

Ова? алгоритам рекурзивно приме?ен да?е верижни разломак

$\log _{b}(x)=n_{0}+{\frac {1}{n_{1}+{\frac {1}{n_{2}+{\frac {1}{n_{3}+\cdots }}}}}}.$

Дати логаритам ?е за углавном ирационалан за ве?ину улазних промен?ивих.

Аналитичка сво?ства

Дуб?е студи?е логаритама захтева?у концепт функци?е. Функци?а ?е правило ко?е, када му се да бро?, производи неки други бро?. Пример ?е функци?а ко?а производи x-ти степен од b за било ко?и реалан бро? x, где ?е база b фиксни бро?. Ова се функци?а пише као

$f(x)=b^{x}.\,$

Логаритамска функци?а

Да би се оправдала дефиници?а логаритама, потребно ?е показати да ?едначина

$b^{x}=y\,$

има реше?е x и да ?е реше?е ?единствено, под условом да ?е y позитиван и да ?е b позитиван и различит од 1. Доказ овог случа?а захтева теорему о сред?о? вредности из елементарног калкулуса. Ова теорема држи да непрекидна функци?а ко?а производи две вредности m и n тако?е производи било ко?у вредност ко?а лежи изме?у m и n. Функци?а ?е непрекидна ако не ?скаче“, т?. ако се ?ен график може нацртати без подиза?а оловке.

Ово сво?ство може бити показано да важи за функци?у f(x) = b^x. Пошто f узима произво?но велике и произво?но мале позитивне вредности, било ко?и бро? y > 0 лежи изме?у f(x₀) и f(x₁) за одговара?у?и x₀ анд x₁. Стога, теорема о сред?о? вредности осигурава да ?едначина f(x) = y има реше?е. Штавише, посто?и само ?едно решене за ову ?едначину, ?ер ?е функци?а f строго расту?а (за b > 1), или строго опада?у?а (за 0 < b < 1).

?единствено реше?е x ?е логаритам од y за базу b, log_b(y). Функци?а ко?а доде?у?е y сво? логаритам зове се логаритамска функци?а или логаритмична функци?а (или само логаритам).

Функци?а log_b(x) ?е у суштини окарактерисана формулом производа изнад

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y).$

Прецизни?е, логаритам за сваку базу b > 1 ?е само расту?а функци?а f од позитивних реалних бро?ева до реалних бро?ева ко?и задово?ава?у f(b) = 1 и

$f(xy)=f(x)+f(y).$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ур. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (10th изд.). New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. 
• Campbell-Kelly, Martin (2003). The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets. Oxford scholarship online. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850841-0. 
• Roy S. Freedman (2006). Introduction to Financial Technology. Amsterdam: Academic Press. стр. 59. ISBN 978-0-12-370478-8. 
• Gullberg, Jan (1997). Mathematics: from the birth of numbers. New York: W. W. Norton & Co. ISBN 978-0-393-04002-9. 
• Allen, Elizabeth; Triantaphillidou, Sophie (2011). The Manual of Photography. Taylor & Francis. стр. 228. ISBN 9780240520377. 
• Van der Lubbe, Jan C. A. (1997). Information Theory. Cambridge University Press. стр. 3. ISBN 9780521467605. 
• Wegener, Ingo (2005). Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms. Berlin, New York: Springer-Verlag. стр. 20. ISBN 978-3-540-21045-0. 
• Downing, Douglas (2003). ?17”. Algebra the Easy Way. Barron's Educational Series. Hauppauge, N.Y.: Barron's. стр. 275. ISBN 978-0-7641-1972-9. 
• Kate, S.K.; Bhapkar, H.R. (2009). Basics Of Mathematics. Pune: Technical Publications. ISBN 978-81-8431-755-8. , поглав?е 1

Спо?аш?е везе

• Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). ?Logarithmic function”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Byfleet, Colin, Educational video on logarithms, Приступ?ено 12. 10. 2010