“智慧养老”推动实现医养结合 服务体系日渐完善

Функци?а ? и ?ена инверзна ?^–1. Како ? пресликава a у 3, инверзна функци?а ?^–1 пресликава 3 назад на a.

百度 新加坡政府在不断鼓励生育的同时，也在进一步提升养老保障。

У математици, ако функци?а ? пресликава скуп A на скуп B, онда ?е ?ена инверзна функци?а ?^-1 таква да пресликава скуп B на скуп A и то тако да сложена функци?а $f\circ f^{-1}$ пресликава сваки елемент скупа A на самог себе. Нема свака функци?а сво?у инверзну, она ко?а има се зове инверзибилна.

Нпр., ако ?е дата функци?а ? таква да да?е дужину у ми?ама ако ?е дата дужина у метрима (?(x) = 1,6 · x), онда ?ена инверзна функци?а g = ?^-1 да?е дужину у метрима ако ?е позната дужина у ми?ама (g(x) = x / 1,6).

Инверзибилност

1. Како функци?а мора да пресликава оригинал у само ?едну слику, то функци?а ко?а ни?е ин?ективна не може имати инверзну.
2. С друге стране, ако се опсег функци?е ни?е идентичан ?еном кодомену, онда за неке елементе скупа-слике не?е бити дефинисано пресликава?е ?^-1.

Зато можемо ре?и да ?е функци?а инверзибилна акко ?е би?екци?а.

• 
  Сур?ективно али неин?ективно пресликава?е
• 
  Ин?ективно али несур?ективно пресликава?е
• 
  Би?екци?а

Нпр. функци?а $f(x)=x^{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ни?е ни ин?ективна (?ер позитивни и негативни бро?еви има?у исту слику), ни сур?ективна (?ер ?е ранг $\mathbb {R} ^{+}$, а не читав кодомен $\mathbb {R}$). Иста функци?а, али дефинисана као $\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ има инверзну функци?у ${\sqrt {x}}$. Функци?а $f(x)=x^{3}\,\!$ има инверзну, а $f(x)=x^{3}-x\,\!$ нема ?ер ни?е ин?ективна ($f(0)=f(1)=0\,\!$).

Особине

Симетри?а

Нека ?е id функци?а идентитета id_X = x. Тада важи

${\begin{aligned}f\circ f^{-1}=id_{X}\\f^{-1}\circ f=id_{Y}\end{aligned}}$

односно $(f^{-1})^{-1}=f\,\!$.

Инверзна функци?а сложене функци?е

При инверзи?и композици?е функци?а, основне функци?е ме?а?у редослед:

$(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$

Аутоинверзи?а

Функци?а идентитета ?е инверзна сама себи:

$id_{X}^{-1}=id_{X}\,\!$

Графичко представ?а?е

Функци?а и ?ена инверзна функци?а су симетричне у односу на праву $y=x\,\!$.

Извод инверзне функци?е

Ако ?е почетна функци?а диференци?абилна, онда се за све тачке у ко?има $f(x)\neq 0\,\!$ важи следе?а формула за извод инверзне функци?е:

${\frac {d}{dy}}\left[f^{-1}(y)\right]={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}}.$

Обележава?е

Важно ?е уочити да ^-1 у означава?у инверзне функци?е ни?е ознака за експонент. Заправо ${\tfrac {1}{f(x)}}$ се запису?е као ?(x)^-1.

У инфинитезималном рачуну ознака ?⁽ⁿ⁾ означава n-ти извод функци?е:

$f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x).$

У тригонометри?и, из истори?ских разлога, $\sin ^{2}x=(\sin x)^{2}\,\!$ а не $\sin(\sin x)\,\!$, али ?е $\sin ^{-1}x=\arcsin x\,\!$, а не ${\tfrac {1}{\sin x}}$. Управо да би се избегла ова непрецизност, за инверзне тригонометри?ске функци?е користи се ознака arc, а за реципрочне потпуно друга имена (${\tfrac {1}{\sin x}}=\csc x$). .

Литература

• Spivak, Michael (1994), Calculus (3rd изд.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8 
• Stewart, James (2002), Calculus (5th изд.), Brooks Cole, ISBN 978-0534393397 

Види ?ош

• Теори?а скупова
• Функци?а
• Списак инверзних функци?а
• Ин?ективно пресликава?е
• Сур?ективно пресликава?е
• Би?ективно пресликава?е